삼각비, 삼각함수

🎈 닮은 직각삼각형에서 대응변의 길이의 비

그림 속 두 개의 직각삼각형을 발견하셨나요? △ABC 와 △DBE 는 직각삼각형임을 알 수 있죠. 그런데 이 두 삼각형은 ∠B가 공통각으로 같고, 한 각이 직각으로 같으므로 'AA닮음' 이라는 것을 알 수 있습니다. 두 삼각형이 닮았다라는 것은 세 대응변의 길이의 비가 각각 일정하게 같다는 것을 의미하고 이때의 길이의 비를 닮음비라고 합니다. 그럼 △DBE 와 △ABC의 닮음비를 구하기 위해 세 대응변의 길이의 비를 구해볼게요. 선분DE의 길이는 피타고라스의 정리로 구하면 '3' 입니다.

세 대응변의 길이의 비가 일정하게 1 : 2 로 나오고 있으므로 두 삼각형의 닮음비는 1 : 2 입니다. 그럼 이번에는 두 삼각형 각각의 두 변의 길이의 비를 구해볼게요. △ABC 에서 높이 : 빗변, 밑변 : 빗변, 높이 : 밑변을 구하고 △DBE 에서도 똑같이 구한 후 값을 비교해보도록 하겠습니다.

이렇게 두 삼각형에서 두 변의 길이의 비가 같게 나오는 것을 볼 수 있는데요. 그 이유는 두 삼각형이 닮은 도형이기 때문입니다. 즉 닮은 직각삼각형끼리의 두 변의 길이의 비는 각각 같다는 것을 알 수 있다.

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🎈 삼각비란 

사실 한 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비는 빗변, 높이, 밑변 중 두 개를 선택해서 비로 나타내므로 빗변 : 높이, 높이 : 빗변, 빗변 : 밑변, 밑변 : 빗변, 높이 : 밑변, 밑변 : 높이 로 6가지가 나옵니다.

이 중 많이 쓰이는 높이 : 빗변, 밑변 : 빗변, 높이 : 밑변 이 세 개의 비를 삼각비라 이름하였고 높이 : 빗변을 sin(싸인),

밑변 : 빗변을 con(코싸인), 높이 : 밑변을 tan(탄젠트)라는 수학적 기호로 나타내어 사용하고 있는 겁니다.

여기서 중요한 건 기준각이 어느각이냐에 따라 높이와 밑변이 달라질 수 있다는 건데요. 일단 모든 직각삼각형에서 빗변은 직각에서 마주보는 변 입니다. 그리고 높이는 기준각에서 마주보는 변이고 나머지 하나의 변이 밑변이 됩니다. 다음은 같은 직각삼각형에서 기준각이 달라질 때 높이와 밑변이 달라지는 것을 보여주고 있습니다.

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위 그림에서 sinA, cosA, tanA는 ∠A의 삼각비라 합니다.

이렇게 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비를 삼각비라 하고 높이 : 빗변을 sin(싸인), 밑변 : 빗변을 cos(코싸인), 높이 : 밑변을 tan(탄젠트)라고 부릅니다. 이는 수학적 기호이자 약속이므로 삼각비를 배웠다면 sinA 를 구하라는 문제를 봤을 때 ∠A에 대한 높이/빗변의 값을 구하라는 뜻으로 이해하면 됩니다. 그리고 닮은 직각삼각형끼리는 한 기준각에 대한 sin, cos, tan값이 같다는 것을 알 수 있습니다.

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예) 다음 직각삼각형에서 ∠A 와 ∠B의 삼각비를 구하라.

먼저 피타고라스의 정리로 변BC의 길이를 구한 뒤 삼각비를 구한다.

(변BC)2 = 25 - 9 = 16,

변BC = 4

 

 

● ∠A의 삼각비

기준각이 A이므로 빗변=5, 높이=4, 밑변=3 이다.

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sinA = 높이/빗변 = 4/5,

cosA = 밑변/빗변 = 3/5,

tanA = 높이/밑변 = 4/3

​

● ∠B의 삼각비

기준각이 B이므로 빗변=5, 높이=3, 밑변=4 이다.

​

sinB = 높이/빗변 = 3/5,

cosB = 밑변/빗변 = 4/5,

tanB = 높이/밑변 = 3/4

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예) 다음 그림에서 cosC 의 값을 구하라.

 

△ACH 에서 cosC = 변CH/변AC

= 가장 짧은 변/가장 긴 변,

△ACH 와 △ABH 는 닮음이고 닮은 직각삼각형의 삼각비는 동일하므로 △ABH 에서 가장 짧은 변/가장 긴 변 의 값을 구하면 됩니다.

cosC = 6/10 = 3/5

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🎈 삼각함수의 정의

삼각함수(trigonometric function)란 각에 대한 함수로 삼각형의 각과 변의 길이를 서로 연관시킨 함수입니다.

이러한 삼각함수는 직각삼각형의 두 변의 길이의 비로 정의할 수 있습니다.

삼각함수에는 다음과 같은 세 개의 기본적인 함수를 정의하고 있습니다.

1. 사인(sine, 기호 sin)

2. 코사인(cosine, 기호 cos)

3. 탄젠트(tangent, 기호 tan)

 

또한, 이 함수들의 역수를 각각 다음과 같이 정의하고 있습니다.

1. 코시컨트(cosecant, 기호 csc)

2. 시컨트(secant, 기호 sec)

3. 코탄젠트(cotangent, 기호 cot)

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🎈 직각삼각형을 이용한 삼각함수의 정의

가장 손쉽게 삼각함수를 정의하는 방법은 바로 직각삼각형을 이용하는 것입니다.

하지만 직각삼각형의 각은 0˚ 부터 90˚ 사이이므로, 직각삼각형을 이용해 정의한 삼각함수는 음의 각이나 90˚ 보다 큰 각에 대해서는 적용되지 않습니다.

 

∠C가 직각인 직각삼각형 ABC에서, ∠A, ∠B, ∠C의 대변(마주보는 변)의 길이를 각각 a , b , c라고 하면, 삼각함수를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

 

 

예)  위 그림과 같이  ∠C가 직각인 직각삼각형에서 ∠A = 60, ∠B = 30, a = √3, b = 1, c = 2인 경우, ∠A에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 함수를 각각 구하시오.

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🎈특정 각도에 대한 삼각함수 값

자주 사용되는 특정 각도에 대한 삼각함수 값을 미리 알아두면, 삼각함수를 다룰 때 편리하게 사용할 수 있습니다.

예) 다음 삼각함수를 구하시오.

sin 30˚ = 1 / 2

tan 60˚ = √3

cos(π / 2) = 0

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🎈각 사분면에서 삼각함수의 부호